特大喜讯！我终于可以说我是个搞研究的了！

经过数月的等待，我的第一篇论文 "A Constant-Gain Equation-Error Framework for Airliner Aerodynamic Monitoring Using QAR Data" 终于上线了！发表在IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems上，欢迎大家改进和引用！

Wen R, Dai Y, Wang H. A Constant-Gain Equation-Error Framework for Airliner Aerodynamic Monitoring Using QAR Data[J]. IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems, 2026.

bibtex

@article{CG-EEM,
Author = {Wen, Ruiying and Dai, Yuntao and Wang, Hongyong},
Title = {A Constant-Gain Equation-Error Framework for Airliner Aerodynamic
   Monitoring Using QAR Data},
Journal = {IEEE TRANSACTIONS ON INTELLIGENT TRANSPORTATION SYSTEMS},
Year = {2026},
Month = {2026 APR 17},
DOI = {10.1109/TITS.2026.3651385},
EarlyAccessDate = {APR 2026},
ISSN = {1524-9050},
EISSN = {1558-0016},
Unique-ID = {WOS:001743239100001},
}

这项研究的核心，是我提出了一种用于系统辨识的新方法，恒定增益方程误差法，CG-EEM (Constant-Gain Equation-Error Method)，你可以直接在这里看到全文（如果你感兴趣的话）。

好，你要是真感兴趣，那我展开讲讲它干了什么。

以免你不知道什么是系统辨识

我们小学二年级就学过方程（这应该是真学过），我在这里写个简单的速度与加速度的方程（这不是小学二年级水平了，大概高一了吧）

s = \frac{1}{2} a t^{2}

其中， $s$ 表示距离（当然应该是路程，不过我们当它在直线上运动）； $a$ 表示加速度，假设我们不知道它多大； $t$ 就是时间，用来告诉我们走了多久

好，我现在告诉你，它就是一个系统，系统就是一组方程表示的。显然可以注意到，我们不知道 $a$ 多大，那我们就得猜它。

怎么猜呢？我们知道距离 $s$ ，知道时间 $t$ ，我觉得这方程初中生都解得出来。但是，我们假装自己不会解方程（因为实际情况下我们面对的方程解不了，你解个飞机六自由度方程试试），我们就需要一些方法去猜。猜这个未知参数 $a$ 的过程就叫参数辨识（叫系统辨识也没问题，只是有时候系统辨识可能我们连方程都不知道，比如现在很多人用神经网络搞系统辨识，但其实理论上讲也是在猜神经元的系数，模型也是固定的，这么说来大家研究的那么火热的AI，其实就是系统辨识问题😋）。

猜得有道理一些

刚才说到，系统辨识一般是在猜参数。

首先啊，上面的例子不太严谨，如果上面例子是匀加速直线运动那就严谨了。一般来说要猜的参数，应该是不怎么变的（方便算法收敛，不然你怎么知道是本来就该乱跑，还是算法不行搞得结果乱跑）。所以这就对模型有要求，就拿上面运动的例子来说，你当然可以建模成 $s = v t$ ， $v$ 表示速度，但是如果是匀加速运动，这个 $v$ 是在一直变的，我们就没法估计一个稳定的 $v$ 出来，但是如果拆到加速度 $a$ 的层面，对 $a$ 的估计应该是收敛的，要不然就是你算法设计的有问题。

刚才的匀加速直线运动有点太理想化了，飞机可不是匀加速直线运动，通常这个 $a$ 甚至还是 $v$ 的函数（因为 $v$ 影响了受力，由牛顿第二定律 $F = m a$ 可知受力反映在加速度上）。所以，飞机的方程其实更像

\dot{v} (t) = u (t) - θ \cdot v (t)

加上一个

v (t + 1) = \int \dot{v} (t) d t

这基本上才是比较复杂的一个动力系统，这里说一下表示法， $\dot{v}$ 表示 $v$ 的导数，也就是加速度。这里，我们的新模型，不知道的是 $θ$ （我们真的不知道，没有谁能告诉我们飞机飞起来这个升阻力怎么算的，这也是为什么我们要给飞机做参数辨识）。

看看我们手里有什么：能测出来的速度 $v$ ，能测出来的加速度 $\dot{v}$ ，状态方程和一个积分。那我们自然想到，我们直接猜一个 $θ$ ，代进去，算一算这个 $\hat{v}$ （是的，一般用 $\hat{\cdot}$ 表示我们猜出来的量）跟我们观测到的 $v$ 是不是一样的，也就是输出误差法，Output Error Method，OEM。

我们来手算一下（就欧拉积分吧，反正它不是积分方法能救的）：
第一步： ${\hat{v}}_{1} = v_{0} + (u_{0} - \hat{θ} v_{0}) Δ t$
第二步： ${\hat{v}}_{2} = {\hat{v}}_{1} + (u_{1} - \hat{θ} {\hat{v}}_{1}) Δ t$
$\dots$
第 $k$ 步： ${\hat{v}}_{k} = {\hat{v}}_{k - 1} + (u_{k - 1} - \hat{θ} {\hat{v}}_{k - 1}) Δ t$

不难发现， ${\hat{v}}_{k}$ 要从 ${\hat{v}}_{k - 1}$ 算， ${\hat{v}}_{k - 1}$ 要从 ${\hat{v}}_{k - 2}$ 算 $\dots$

再看每一步，很容易能想明白，这个 $θ$ 要是有一点不对，那误差累积可太快了，每一步的误差全加进去了，最后算出来个超越宇宙第一速度的飞机，你直接发明时光机！

那我不积分呢？直接测 $\dot{v}$ （或者前后用差分算一个），这样就能算每一步里 $θ$ 猜得对不对了，这样就不用回溯那么多步，这就是方程误差法，Equation Error Method，EEM。

你若是稍对飞行器的动力学方程有所了解，那你很快能想到EEM的另一个优点，那就是不用积分。为什么这特别重要呢？深入一点，我们可以知道飞机的受力一般建模成 $F_{◻} = q S C_{◻}$ （这个 $◻$ 填 $L$ 就是算升力，填 $D$ 就是算阻力，填 $Y$ 就是算侧向力，飞行力学，轻而易举啊！）， $q$ 是动压， $S$ 一般是机翼面积，不过这不是这里讨论的主要问题。

主要问题在哪呢，力矩。力矩一般建模成 $M_{◻} = q b S C_{◻}$ （同理 $◻$ 可以填 $l, m, n$ ），多了个 $b$ ，一般当它是机翼长度，不过这也不重要。你可以注意到，这里是 $M$ ，跟上面的 $F$ 不一样， $F$ 直接用 $F = m a$ 就得到 $a$ 了，质量 $m$ 还是很好得到的，而 $M$ 是转矩，有这么个关系 $M = I_{◻} \dot{ϵ}$ ， $ϵ$ 就可以是任意角，俯仰 $θ$ 啊（这跟我们要猜的 $θ$ 没关系），滚转 $ϕ$ 啊，偏航 $ψ$ 啊都行，但是这个 $I_{◻}$ 就非常麻烦了。第一，要是算三个方向，那这个 $◻$ 可以填得四面八方；第二，跟方便的 $m$ 不一样，这玩意儿飞行中没法测（落地了可能也没法测）。

所以EEM的另一个优势是，不用积分 $\dot{v}$ ，不用积分 $\dot{ϵ}$ ，那就完全不用考虑 $I_{◻}$ 了。

好处说完了，坏处呢？

那就是另一个老生常谈的问题了，噪声。传感器有自己的测不准原理（那显然不是量子力学那个），你想让它准的时候就是不准，你觉得它不准的时候它就是准的。

噪声高高低低，但是一长串加起来就互相抵消了，也就是说，OEM积分那么多步，最后噪声误差反而消掉了（即使误差还是不可避免地累积）。但是EEM呢？显然它就会跟着噪声跑，这一步上它就跟着上，这一步下它就跟着下。那显然我们要让它冷静一点，也就是不要上上下下的，保持住最好，也就是恒定增益Constant Gain的来历之一。

另一个问题是什么呢？我们光有评估误差的方法，怎么猜 $θ$ 又是一个问题。这其实高中就学过了，就是最小二乘法，而由于它是每一步都在用最小二乘法，所以正式名称叫递推最小二乘法，Recrusive Least Squares，RLS。

如果了解最小二乘法，那你应该知道，为了让数据能拟合出来，最好这些点散得开一点（也就是多点变化），以让它每一次的迭代有更多的参考。但，飞机，可是不能在天上五花八门地飞，那最小二乘法恰恰就没有那么多参考，也就是激励不足。所以很有可能它很快收敛（估计值不变），但是收敛得不一定对。

那我看得远点呢？这样不就有可能有更多的变化了？它陷入当下的窘境是因为光看现在的变化了，那我让它记一记以前的数据呢？也就是加个遗忘因子Forget Factor，每一步都要跟之前联系起来，这样一来就变成了带遗忘因子的递推最小二乘法FF-RLS。但这就导致噪声同样被记录下来，尤其是因为这个遗忘因子窗口有限，根本没办法让噪声高高低低抵消掉。

到这里，你都知道要干什么了。既要让算法能适应变化，又要让算法不要那么跟随变化，前者不就是EEM吗？后者不就是更长的记忆窗口吗？

哦！呼之欲出！

对，就特别简单，EEM不是跟着跑吗，我就让它有自己的步子！RLS不是激励不足吗，我就手动推着它跑！这共同指向了一个地方，那就是，增益稳定，多稳定算稳定呢？就是常值，那最稳定了，这就是恒定增益Constant Gain。再缝到EEM上，不就是CG-EEM了吗？

也就是说，我们有残差

e_{k} = y_{k} - x_{k} θ_{k}

然后呢，为了猜这个 $θ$ 就只需要乘一个增益 $K$

θ_{k + 1} = θ_{k} + K e_{k}

稍微学习过自动控制原理的同学马上发现了，这就是最简单的常矩阵反馈控制啊！参数辨识原来就是个控制问题？还真是，可以理解为参数辨识就是个控制问题，系统是辨识算法，控制目标是让残差变小（但是我透露一下，我后续的文章可能要对此提出挑战，残差变小不一定是唯一的控制目标）。

还感兴趣？那读读文章吧

这个过程，其实就是我探索的过程，我目标本来是搞气动参数辨识，最开始用UKF这一类OEM方法，后来用RLS，发现都有问题（尤其是UKF，我看大家写文章闭口不谈它特别容易崩掉，就是Cholesky分解要求正定矩阵，但是现实算出来的往往非正定，这问题折磨了我好久，最后什么结果我不言自明）。所以当我偶然把那个步间增益删掉的时候，发现跑出来了特别好的结果，我一晚上没睡把这篇文章就写出来了。

我主要在这里记录方法的思想，详细数学公式什么的看文章吧，肯定比在我博客上看舒服。

这篇文章算是我在学术界正式留下的第一个脚印。然后，可能读博之前还有几篇文章吧，等发出来我再讲。希望我能申请到一个研究几何的课题组，到时候深度数学不要让我掉光头发就行。

感谢大家看到这里，如果你对系统辨识或者飞行力学感兴趣，欢迎随时留言交流！咱们下篇文章见！

特大喜讯！我终于可以说我是个搞研究的了！ ​

以免你不知道什么是系统辨识 ​

猜得有道理一些 ​

好处说完了，坏处呢？ ​

哦！呼之欲出！ ​