第二课：欧拉角 - 姿态的语言：滚转、俯仰与偏航

在上一课中，我们理解了描述飞机的两个核心视角：机体系和地心系。我们也留了一个问题：如何用数学语言精确地描述这两个坐标系之间的“相对角度”？

答案就是欧拉角 (Euler Angles)。这是一组三个角度，它们共同定义了飞机相对于地面（东北地坐标系）的姿态。

1. 三个核心姿态角

滚转角 (Roll Angle, $ϕ$ / phi): 描述飞机绕其纵轴 (Xb 轴) 的旋转。想象一下飞机在做“侧飞”动作，机翼一高一低，这就是滚转。通常规定，右翼下压为正滚转。
俯仰角 (Pitch Angle, $θ$ / theta): 描述飞机绕其横轴 (Yb 轴) 的旋转。也就是我们常说的“抬头”或“低头”。通常规定，机头向上为正俯-仰。
偏航角 (Yaw Angle, $ψ$ / psi): 描述飞机绕其垂直轴 (Zb 轴) 的旋转。也就是“机头朝左”或“机头朝右”。通常规定，机头向右偏为正偏航。

这三个角度组合起来，就可以唯一确定飞机在空中的姿态。

现在，让我们进入一个飞机姿态的控制台。下面这个交互式组件，为你提供了三个控制欧拉角的滑块。

任务1：单独探索俯仰角 $θ$
- 请勾选“机体系”和“东北地”。
- 保持“滚转”和“偏航”滑块在 0°。
- 慢慢地拖动“俯仰 (θ)”滑块，从 0° 增加到 30°。仔细观察：机体系的 Xb 轴（红色）是如何与东北地坐标系的水平面（由 N 轴和 E 轴构成）之间产生一个夹角的？这个夹角就是俯仰角。
任务2：探索滚转角 $ϕ$
- 先将“俯仰”滑块归零。
- 拖动“滚转 (Φ)”滑块。观察飞机是如何绕着它自己的 Xb 轴（红色）进行旋转的。当滚转角为 90° 时，飞机的姿态是怎样的？
任务3：组合姿态
- 现在，尝试组合使用这三个滑块。比如，设置一个 10° 的俯仰角，再加一个 20° 的滚转角。
- 观察最终的姿态。思考一下，如果飞行员先俯仰再滚转，和先滚转再俯仰，最终的姿态会一样吗？（提示：这涉及到欧拉角的一个重要特性——旋转顺序）

通过精确控制，你可以更深刻地理解每个角度的独立作用，以及它们组合起来如何形成复杂的空间姿态。

机体系 (Body) 东北地 (NED) 半透明机身 (X-Ray)

滚转 (Φ Roll): 0°

-180180

俯仰 (θ Pitch): 0°

-9090

偏航 (ψ Yaw): 0°

-180180

在操作上面的滑块时，你可能已经注意到了一个有趣的现象：

无论你以何种顺序拖动滑块，只要最终的三个角度值（ $ϕ, θ, ψ$ ）相同，飞机的最终姿态就一定相同。

这一点非常重要，因为它揭示了我们的交互式控件与真实飞行操纵的核心区别：

控件（设定姿态）: 我们的滑块扮演的是一个“姿态设定器”的角色。它像一个精确的导航仪器，你输入一个最终的目标姿态（由三个欧拉角定义），它就直接将飞机“定位”到那个姿态。在这个系统中，我们已经预先定义了一个固定的旋转顺序（偏航 -> 俯仰 -> 滚转），所以只要三个角度确定，最终的姿态就是唯一的。
真实驾驶（增量操纵）: 飞行员拉动驾驶杆，是对飞机当前姿态施加一个增量变化。先拉杆抬头（俯仰），再蹬舵（偏航），其结果与先蹬舵再拉杆是完全不同的。真实的驾驶是一个连续、有状态、且对顺序极其敏感的过程。

简单来说，我们的实验室是为了帮助你理解和设定一个静态的最终姿态，而不是模拟动态的飞行驾驶过程。

在第二课中，我们掌握了描述飞机姿态的“语言”——欧拉角。

我们还明白了，通过欧拉角设定一个确定的姿态，与飞行员通过连续操纵达成一个姿态，是两种不同的思考模型。

当飞机有一个 10° 的正攻角 ( $α$ ) 时，它的升力方向是怎样的？如果此时飞机再做一个 20° 的正滚转 ( $ϕ$ )，升力的方向会如何变化？它还会垂直向上吗？

带着这个问题，我们将在下一课中，将“姿态”与“力”结合起来，探索飞机飞行的动力学奥秘。